Question

x＋y＋z＋w＝100 求这个方程的自然数解的组数

Answer 1

不知道你是否学习过排列组合,如果是,可以用挡板法:
把104个火柴杆排成一排(可以凭想象)
那么在104个火柴之间有103个空,在这103个空里面任意选3个空分别插入一个挡板,这样3个挡板就把104根火柴分成4堆,不妨把从左到右4堆火柴的个数分别记为a,b,c,d,那么每一种挡板的放置方法对应一组abcd的数值,且a+b+c+d=104,
而挡板的放置方法有C(103,3)=(103*102*101)/(3*2*1) = 176851 种.
所以方程a+b+c+d=104有176851组正整数解.

而此题求的是自然数解,
若a+b+c+d=104则(a-1)+(b-1)+(c-1)+(d-1)=100
令a-1=x,b-1=y,c-1=z,d-1=w
则每一组abcd的值对应一组xyzw的值,且x+y+z+w=100
因此x+y+z+w=100这个方程组的自然数解的组数是176851.

追问

为什么a＋b＋c＋d＝104

追答

若a+b+c+d=104则(a-1)+(b-1)+(c-1)+(d-1)=100。

是这样的哦！简单变形了

追问

。。。。a-1这些怎么得出来。。

Answer 2

猜的 应该是100组吧

Answer 3

把104个火柴杆排成一排(可以凭想象)
那么在104个火柴之间有103个空,在这103个空里面任意选3个空分别插入一个挡板,这样3个挡板就把104根火柴分成4堆,不妨把从左到右4堆火柴的个数分别记为a,b,c,d,那么每一种挡板的放置方法对应一组abcd的数值,且a+b+c+d=104,
而挡板的放置方法有C(103,3)=(103*102*101)/(3*2*1) = 176851 种.
所以方程a+b+c+d=104有176851组正整数解.
而此题求的是自然数解,
若a+b+c+d=104则(a-1)+(b-1)+(c-1)+(d-1)=100
令a-1=x,b-1=y,c-1=z,d-1=w
则每一组abcd的值对应一组xyzw的值,且x+y+z+w=100
应该是要考虑0的情况，四个值各自有可能为零，但是上述挡板忽略了为零的情况。加上为零的就是104。 还有种思路，一张板一张板的放，一开始有101种（101个空，可以在两端），第二次有102种，第三次有103种，分类计数原理乘起来就行了。

Answer 4

因为最小正整数-1=0（最小自然数）