Question

微分和变分有什么区别？微分和变分有什么本质的区别

Answer 1

　　微分和变分的区别，也是本质区别是：微分是同一函数在某微小区间上的增量，变分是定义域中某一值上不同函数的增量。

　　微分dy中变化的是数值dx，变分δy变化的是函数的形式y（或y+δy）。

• 微分：

　　在数学中，微分是对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的变化量取值作足够小时，函数的值是怎样改变的。比如，x的变化量△x趋于0时，则记作微元dx。

　　当某些函数的自变量有一个微小的改变时，函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量△x，可以表示成△x和一个与△x无关，只与函数及有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在△x上的值。另一部分是比△x更高阶的无穷小，也就是说除以△x后仍然会趋于零。当改变量很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在x处的微分，记作df(x)或f'(x)dx。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。

• 变分：

　　变分法（calculus of variations），是处理函数的变量的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

Answer 2

微分和变分都有各自改变的量和不变的量,我们研究函数的微分,是给定一个函数f(x),让自变量x有微小增量,这里x是改变的而函数f(x)是不变的.而变分是固定自变量x,让函数f(x)有微小改变,它研究的是函数的变化,由于这里的变量是函数,因此变分属于泛函分析的范畴.