Question

函数f(x)=2x-4sinx,x∈[-π/2,π/2]

Answer 1

值域：[2π/3-2√3，2√3-2π/3]

• 解：

　　定义域：[-π/2，π/2]关于原点对称

　　又f(-x)=-f(x)

　　∴ f(x)是奇函数

　　∴ 求值域时，为方便起见，只需考虑D1：[0，π/2]上的值域

　　f'(x)

　　=(2x-4sinx)'

　　=2-4cosx

　　=-4(cosx-1/2)

　　当x=π/3时，f'(x)=0

　　当0≤x＜π/3时，f'(x)＜0，f(x)单调递减

　　当π/3＜x＜π/2时，f'(x)＜0，f(x)单调递增

　　∴ f(x)在x=π/3处取得极小值同时也是最小值

　　f(x)_min=f(π/3)=2π/3-2√3

　　由奇函数的图像的对称性可知：

　　f(x)在D2：[-π/2，0]上有最大值-(2π/3-2√3)

　　∴ f(x)的值域是[2π/3-2√3，2√3-2π/3]