Question

为什么任何一个特征值对应无数个特征向量？

Answer 1

特征向量的原始定义Ax=λx，λx是方阵A对向量x进行变换后的结果，而且x是特征向量的话，k
x也是特征向量(k是常数且不为零)，所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族。

线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

扩展资料：

设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

特征函数满足如下特征值方程：其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数，如果λ = 0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。

参考资料来源：百度百科--特征向量

参考资料来源：百度百科--特征值

Answer 2

Ax=px，满足上述方程的p为特征值，对应的x为特征向量。遗项后得到（A-p I）x=Bx=0,其中 I 为单位矩阵。满足上述方程的p，也就是矩阵A的特征值，会使得矩阵B的行列式为0。根据线性代数的理论，对于方程Bx=0，当矩阵B的行列式为0时，x有无穷多组非零解。
另外，对于方程Bx=0，若x是该方程的非零解，即x是特征向量，因为B（kx）=k（Bx）=0,则kx也是该方程的解，即kx也是特征向量，k只要是非零常数即可。因此，任何一个特征值对应无数个特征向量

Answer 3

因为对相应的是一个或几个向量组，而且只要成比例的都是特征向量，可以是无数个。

Answer 4

特征向量的原始定义Ax=λx,λx是方阵A对向量x进行变换后的结果，而且x是特征向量的话，k
x也是特征向量(k是常数且不为零)，所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族

Answer 5

请你找一本线性代数课本（数学专业用）,其中有一个
定理：对于矩阵A的特征值λ.代数重数≥几何重数.
（代数重数是特征值λ作为特征方程的根的重数.
几何重数是特征值λ所对应的特征子空间的维数.即
λ对应的线性无关的特征向量的个数.）
这个定理的证明不太麻烦.但是这里还是写不出.
顺便说一句,A相似于对角阵的充要条件正是：
对于A的每个特征值,总有：代数重数＝几何重数.
对称矩阵必相似于对角阵,总有：代数重数＝几何重数