外积的定义
把向量外积定义为：
符号表示：a× b
大小：|a|·|b|·sin<a,b>.
方向：右手定则：若坐标系是满足右手定则的，设z=x×y,|z|=|x||y|*sin<x,y>；则x,y,z构成右手系，伸开右手手掌，四个手指从x轴正方向方向转到y轴正方面，则大拇指方向即为z正轴方向。
外积的坐标表示：
（x1,y1,z1）×（x2,y2,z2）=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1） a× (b+c) = a ×b +a ×c
分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了：
1）外积的反对称性：
a× b= - b× a.
这由外积的定义是显然的。
2）内积（即数积、点积）的分配律：
a·（b+ c) = a·b+ a·c,
（a+ b）·c= a·c+ b·c.
这由内积的定义a·b= |a|·|b|·cos<a,b>；，用投影的方法不难得到证明。
3）混合积的性质：
定义（a×b）·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：
i) (a×b）·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。
简单证明：体积V=底面积S×高h
=|a×b|×|h|
=|a×b|×|c|×(c·h)/(|c||h|)
=|a×b|×(c·h)/|h|
而|h|=|a×b|
所以 V=c·h=c·(a×b）
从而就推出：
ii) (a×b）·c= a·（b×c)
所以我们可以记a,b,c的混合积为（a,b,c).
由i）还可以推出：
iii) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。 下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·（a×（b+ c））里，交替两次利用3）的ii）、iii）和数积分配律2），就有
r·（a×（b + c))
= (r×a)·（b+ c)
= (r×a）·b+ (r×a）·c
= r·（a×b) + r·（a×c)
= r·（a×b+ a×c)
移项，再利用数积分配律，得
r·（a×（b+ c) - (a×b+ a×c)) = 0
这说明矢量a×（b+ c) - (a×b+a×c）垂直于任意一个矢量。按3）的iv），这个矢量必为零矢量，即
a×（b+ c) - (a×b+ a×c) = 0
所以有
a×（b+ c) = a×b+a×c.
证毕
