Question

怎么用反证法证明根号3是无理数？？

Answer 1

分析：
①有理数的概念：
“有限小数”和“无限循环小数”统称为有理数。
整数和分数也统称为有理数。
所有的分数都是有理数，分子除以分母，最终一定是循环的。

②无理数的概念：无限不循环小数，可引申为“开方开不尽的数”。

③反证法的要领是假设一个明显荒谬的结论成立，然后正确地证明原假设是错误的。

解：
假设(√3)是有理数，
∵ 1＜3＜4
∴(√1)＜(√3)＜(√4)
即：1＜(√3)＜2
∴(√3)不是整数。

∵整数和分数也统称为有理数，而(√3)不是整数
∴在假设“(√3)是有理数”的前提下，(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数。

此时假设 (√3) = m/n(m、n均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除1外再无公因数)

两边平方，得：

m² / n² = 3

∴m² 是质数3的倍数

我们知道，如果两个数的乘积是3的倍数，那么这两个数当中至少有一个数必是3的倍数。

∴由“m² (m与m的乘积) 是质数3的倍数”得：正整数m是3的倍数。

此时不妨设 m = 3k(k为正整数)

把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ，得：

(9k²) / n² = 3

∴3k² = n²

即：n² / k² = 3

对比“m² / n² = 3“ 同理可证

正整数n也是3的倍数

∴正整数m和n均为3的倍数

这与“m、n均为正整数且互质”相矛盾。

意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论，

∴原假设“(√3) = m/n(m、n均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除1外再无公因数)”是不成立的。

∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数

而已证(√3) 不是整数

∴(√3) 既 不是整数也不是分数，即(√3) 不是有理数。

∴(√3) 是无理数。

Answer 2

假设sqrt3是有理数,则它可表示为sqrt3=n/m(n,m均为整数且互质).则msqrt3=n,3m^2=n^2.即n必含有因数3,则n^2必含有因数9.从而m必含因数3.即m,n有公因数3.与假设矛盾,从而,假设不成立,sqrt3不是有理数

Answer 3

证明，设根号3为有理数，则存在正整数p和q（p,q互质）,，使得根号3=p/q
两边平方，3=P^2/q^2
p^2=3q^2,
则P一定是3的倍数，q也一定是3的倍数
与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理，知根号3为无理数

Answer 4

假设结论不成立，即根号3为有理数，
那么存在正整数p和q（p,q无公因子，或称互质）,使得根号3=p/q(有理数的性质)，两边平方，得到
p^2=3*q^2,
接下来分析，（具体过程可以有多种，但是都是从公因子3入手，引出矛盾）
因为等号右边有因子3，且3为质数，因此p一定是3的倍数，设p=3r,代入等式并约分得到，
3*r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍数，于是p、q均为3的倍数，与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理，知根号3为无理数