概率论与数理统计，随机变量X,Y的联合概率密度函数为fxy(x,y) = ax (0<y<x,0<x<1)
一、第二问积分得出a=3。
首先确立Z的范围，由于0<y<x<1，所以z范围为(0,1)
然后考虑求Z的分布函数F(z)，即P(x-y<z),即x<y+z在对应z值下的概率。
那么，可以先自由取y，然后考虑x的范围使得x-y<z，然后求对应区域的概率密度积分即可。
这里有个问题是，y取值的范围会使得x的取值限制范围不一样。
当y<1-z的时候时，x<y+z<1的限制条件是有效的，即x范围为(y,y+z)
而y>1-z时，x<1<y+z的限制条件是无效的，即x范围为(y,1)
那么，计算分布函数的双重积分的里面式子是一样的，都为3x，只不过要分为两个式子，
一部分，外面dy的范围为(0,1-z),里面dx的范围为(y,y+z)
另一部分，外面dy的范围为(1-z,1),里面dx的范围为(y,1)
最后算出的结果：
第一部分是a/2*z(1-z),即3/2*z(1-z)，
第二部分为a/6*(3z^2-z^3)，即1/2*(3z^2-z^3)，
和加起来即F(z)=3/2*z-1/2*z^3 z∈(0,1)
由分布函数求概率密度函数为g(z)=3/2(1-z^2)
二、实际上在这里画出图即可，
分布区域为D:X+Y>1，x属于(0,1)，y属于(0,1)
面积S=1/2，
而画出X+Y>1的直线，
与分布区域相交得到
即(1/2 ,1/2),(1,0)和(0,1)三点组成的三角形，
那么显然面积为1/4，
所以P(X+Y>1)= (1/4) / (1/2)=1/2
扩展资料：
随机试验结果的量的表示。例如掷一颗骰子出现的点数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，随机抽查的一个人的身高，悬浮在液体中的微粒沿某一方向的位移，等等，都是随机变量的实例。
一个随机试验的可能结果（称为基本事件）的全体组成一个基本空间Ω(见概率)。随机变量x是定义于Ω上的函数，即对每一基本事件ω∈Ω，有一数值x(ω)与之对应。
以掷一颗骰子的随机试验为例，它的所有可能结果见，共6个，分别记作ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,这时，Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6},而出现的点数这个随机变量x，就是Ω上的函数x(ωk)=k，k=1,2,6。
又如设Ω={ω1,ω2,…，ωn}是要进行抽查的n个人的全体，那么随意抽查其中一人的身高和体重，就构成两个随机变量X和Y,它们分别是Ω上的函数：X(ωk)=“ωk的身高”，Y(ωk)=“ωk的体重”，k=1,2,n。
一般说来，一个随机变量所取的值可以是离散的（如掷一颗骰子的点数只取1到6的整数，电话台收到的呼叫次数只取非负整数），也可以充满一个数值区间，或整个实数轴（如液体中悬浮的微粒沿某一方向的位移）。
参考资料来源：百度百科-随机变量
首先确立Z的范围，由于0<y<x<1，所以z范围为(0,1)
然后考虑求Z的分布函数F(z)，即P(x-y<z),即x<y+z在对应z值下的概率。
那么，可以先自由取y，然后考虑x的范围使得x-y<z，然后求对应区域的概率密度积分即可。
这里有个问题是，y取值的范围会使得x的取值限制范围不一样。
当y<1-z的时候时，x<y+z<1的限制条件是有效的，即x范围为(y,y+z)
而y>1-z时，x<1<y+z的限制条件是无效的，即x范围为(y,1)
那么，计算分布函数的双重积分的里面式子是一样的，都为3x，只不过要分为两个式子，
一部分，外面dy的范围为(0,1-z),里面dx的范围为(y,y+z)
另一部分，外面dy的范围为(1-z,1),里面dx的范围为(y,1)
最后算出的结果：
第一部分是a/2*z(1-z),即3/2*z(1-z)，
第二部分为a/6*(3z^2-z^3)，即1/2*(3z^2-z^3)，
和加起来即F(z)=3/2*z-1/2*z^3 z∈(0,1)
由分布函数求概率密度函数为g(z)=3/2(1-z^2)
