Question

为什么r(a)+r(a*)≦n？

Answer 1

两个n阶方阵A,B乘积的秩满足不等式:r(A)+r(B)-n ≤ r(A·B)。

而A·A* = |A|·E这是伴随矩阵的性质。

A退化时|A| = 0，于是A·A* = |A|·E = 0，r(A·A*) = 0。前者的秩 ≥ r(A)+r(B), 后者的秩 = r(AB)+n, 比较即得。

A (I - A) = 0，说明 I - A 的每个向量都在 A 的零空间里，所以 rank(I - A) <= dim(N(A)) = n-r
所以：rank(A) + rank(I - A) <= n。

扩展资料：

系数行列式|A-λE|称为A的特征多项式，记¦(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。

¦(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。

n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

以A的特征值λ0代入(λE-A)X=θ，得方程组(λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。

因为|λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。

参考资料来源：百度百科-矩阵特征值

Answer 2

两个n阶方阵A,B乘积的秩满足不等式:r(A)+r(B)-n ≤ r(A·B).
而A·A* = |A|·E这是伴随矩阵的性质.
A退化时|A| = 0,于是A·A* = |A|·E = 0,r(A·A*) = 0.
哪步有疑问我再解释.
第一步应该算基本的不等式了,可以证明如下:
考虑分块矩阵
A 0
-E B
可经初等行列变换变为
0 AB
-E 0
前者的秩 ≥ r(A)+r(B),后者的秩 = r(AB)+n,比较即得.

Answer 3

你好！这里用了一个定理：若AB=O，则r(A)+r(B)≤n，其中n是A的列数。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

追问

那是为什么呢，怎么证明

追答

这是书上的定理，你往前找一下。