Question

点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上一点，AD的中垂线EF分别交AC.AD.AB于E.O.F，且BC=2

①当CD=根号2时，求AE
②当CD=2[（根号2）-1]时，试证明四边形AEDF是菱形

最好快一点解出来。我没看懂题目。。
角C是直角
我是初二的
没学过相似性。

Answer 1

1、如图所示：因为没有图，所以先按照∠B是直角计算；

做DG平行EF交AC于G，则EO是ADG的中位线，AE=EG；做GH垂直CD交CD于H；则三角形CGH是等腰直角三角形；

角GDH+ADB=90；即角BAD=GDH；

则三角形ABD相似DHG；

AB:DH=BD:GH→2:(√2-GH)=(2-√2):GH；解得：GH=(3√2-2)/7；

即CG=GH*√2=(6-2√2)/7；则AG=2√2-CG=(16√2-6)/7;

即AE=AG/2=(8√2-3)/7;

如果按照∠C是直角计算：结果如下：非常简单

连接DE,因EF是中垂线，则AE=DE是等腰三角形；

即CE=2-AE；

直角三角形CDE中；CE²+CD²=DE²

CE²+2=（2-CE）²

CE=1/2；

则AE=3/2；

2、采取∠C是直角；

则有BD=2-2(√2-1)=4-√2；

则BD:CD=(4-√2):2(√2-1)=2:√2=AB:AC；

则AD是角平分线；

可证三角形AOE全等AOF（两角相等，有公共边）；即EO=OF；

即可知AD和EF相互垂直平分，则AEDF是菱形；

Answer 2

(电脑上不好打，见谅)
因为EF是AD的中垂线
所以∠AOE=90°
因为∠EAO=∠BAD
解（1）
所以△AEO相似△ABD
因为BC=2,CD=根号2
所以BD=2-根号2
AD AB
----= ----
AE AO
算出来 AE≈1.08
（2）
因为EF是AD的中垂线
所以AO=OD,EO=EO,∠AOE=∠EOD
所以△AOE全等于△EOD
同理△AOF全等△FOD
因为BC=2,DC=2[（根号2）-1]
所以BD=4-2根号2
（你们学了三角函数么？）
tan∠EAO=（4-2根号2）除以2
所以∠EAO=22.5°
因为∠BAC=45°
所以∠EAO=∠OAF
所以AE=AF=ED=FD
所以四边形AEDF是菱形

Answer 3

解：①在等腰Rt△ABC中，有AC=BC=2，

在Rt△ACD中，AD= AC2+CD2   = 4+2   =  6   ， 

∵EF是AD的中垂线，

∴∠AOE=∠C=90°，AO= 1   2   AD= 6   2   ， 

∵∠AOE=∠C=90°，∠CAD=∠CAD（公共角），

∴△AOE∽△ACD，

∴AO：AC=AE：AD，

∴AE= AO•AD   AC   = 3   2   ． 

 

②过D作DG⊥AB于G，BD=BC-CD=2-2（ 2   -1）=2-2 2   +2=4-2 2   ， 

∵∠DGB=90°，∠B=45°，

∴△DGB是等腰直角三角形，

由DG=GB=BDsin45°=（4-2 2   ）×2   2   =2（ 

2   -1）=CD， 

∴Rt△ADC≌Rt△AGD，

∴∠CAD=∠BAD，

∵EF是AD的中垂线，AF=FD，AE=ED，

∴∠CAD=∠BAD=∠ADE=∠ADF，

∴△AED≌△AFD，

∴AF=FD=AE=ED，

∴四边形AEDF是菱形．

Answer 4

还有个最不用动什么脑筋的方法 以为B原点 BC为X轴 BA为Y轴建立平面直角坐标系 解出AD EF AC几个边所在直线的方程 求交点E坐标 再由两点间距离公式求AE长