Question

已知△ABC和△ADE均是等腰直角三角形，M是EC中点，求证：△BDM为等腰直角三角形。

Answer 1

证明：过点C作CF∥ED,与DM的延长线交于点F,连接BF,

易证MDE△≅△MFC,

所以DM=FM,DE=FC,∠DEM=∠FCM

所以AD=ED=FC

作AN⊥EC交EC延长线于点N,

由已知∠ADE=90°,

可得∠DAN=∠DEN=180°-∠DEM=180°-∠FCM,

在四边形ANCB中，∠ABC=90°，∠ANC=90°

可得∠NAB=180°-∠NCB

∠FCB=360°-∠FCM-∠NCB=360°-(180°-∠DAN)-(180°-∠NAB)

=∠DAN+∠NAB=∠DAB

又AD=CF,AB=CB

所以△BCF≅△BAD,BF=BD,∠ABD=∠CBF

∠DBF=∠DBC+∠CBF=∠DBC+∠ABD=∠ABC=90°

所以△DBF是等腰直角三角形

因为M是DF的中点

所以△BDM是等腰直角三角形

Answer 2

（1）证明：延长DM交BC于N，
∵∠EDA=∠ABC=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中

∠DEM＝∠NCM
EM＝CM
∠EMD＝∠NMC

，
∴△EMD≌△CMN，
∴CN=DE=DA，MN=MD，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，∠DBM=
1
2
∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD为等腰直角三角形．

（2）△BMD为等腰直角三角形的结论仍成立，
证明：作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，
∴∠E=∠MCN=45°，
∵∠DME=∠NMC，EM=CM，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
又∵∠DAB=180°-∠DAE-∠BAC=90°，
∠BCN=∠BCM+∠NCM=45°+45°=90°，
∴∠DAB=∠BCN，
在△DBA和△NBC中

DA＝CN
∠DAB＝∠
BA＝BC

BCN，
∴△DBA≌△NBC，
∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，∠DBM=
1
2
∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD为等腰直角三角形．

追问

辅助线没法作？题解有误？