Question

公共弦的相交两圆的公共弦所在的直线方程

Answer 1

若圆C1：(x-a1)^2+(y-b1)^2=r1^2或x2+y2+D1x+E1y+F1=0
圆C2：(x-a2)^2+(y-b2)^2=r2^2或x2+y2+D2x+E2y+F2=0
则过两圆交点的直线方程为：(x-a1)^2+(y-b1)^2－(x-a2)^2－(y-b2)^2=r1^2－r2^2 或 (D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0
这是“两相交圆方程相减得公共弦方程”的变式
设两圆分别为
x^2+y^2+c1x+d1y+e1=0 ①
x^2+y^2+c2x+d2y+e2=0 ②
两式相减得
（x^2+y^2+c1x+d1y+e1）-（x^2+y^2+c2x+d2y+e2）=0 ③
这是一条直线的方程
（1）先证这条直线过两圆交点
设交点为(x0,y0)则满足①②
所以满足③
所以交点在直线③上
（2）由于过两交点的直线又且只有一条
所以得证

Answer 2

若圆C1：(x-a1)^2+(y-b1)^2=r1^2或x2+y2+D1x+E1y+F1=0
圆C2：(x-a2)^2+(y-b2)^2=r2^2或x2+y2+D2x+E2y+F2=0
则过两圆交点的直线方程为：(x-a1)^2+(y-b1)^2－(x-a2)^2－(y-b2)^2=r1^2－r2^2 或 (D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0
这是“两相交圆方程相减得公共弦方程”的变式
设两圆分别为
x^2+y^2+c1x+d1y+e1=0 ①
x^2+y^2+c2x+d2y+e2=0 ②
两式相减得
（x^2+y^2+c1x+d1y+e1）-（x^2+y^2+c2x+d2y+e2）=0 ③
这是一条直线的方程
（1）先证这条直线过两圆交点
设交点为(x0,y0)则满足①②
所以满足③
所以交点在直线③上
（2）由于过两交点的直线又且只有一条
所以得证

Answer 3