Question

谁有余元公式的证明啊

Answer 1

我给几种不同的答案。
解法1：菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》第二卷第三册，采用级数解法。
此种证法要注意 分解为两个部分分式时，要判断敛散性。
解法2：南京工学院教研组（现在叫东南大学）《数学物理方程与特殊函数》附录A，采用留数解法。
此种证法要注意 中的 采用围道积分时，要注意被积函数的极点。
解法3：设函数 (p不是整数)由级数展开
在端点 处保持连续，显然： (*)
通过简单字母置换：
改写为：
如果 。则右边第n项的绝对值小于 。
因此，级数在此区间可逐项积分。
左边为：
右边为：
即
容易判断乘积收敛（这点要小心，必须要了解，否则会出错。如果不收敛，则推导都是形式的）则有 (**)
而伽马函数采用乘积形式

因此：
比较(**)式， B.Q,

几点说明：
（1）(*)是数学分析中很重要的一个公式。
（2）(**)是数学中很漂亮的公式，如果 ，则会很容易知道它是瓦里斯公式。但是比瓦里斯本人的证明漂亮。它还可以得到黎曼函数偶数的结果，最早有数学家欧拉得到，但是，当时欧拉的证明不严紧。不过，这并不妨碍此公式的名誉归属，一般还是称为欧拉公式。
（3）我还会其他类型的证明，但是审稿还未结束。因此不能展示，不过都是围绕(**)展开的，中国有人在1982年写过此问题的其他证明的文章。
（4）这个问题继续讨论，会得到很多结果，这里就赘述了。