Question

设函数f（x）=（2x+a）/（x²+1），函数g（x）=（2/3）x³+ax²-2x均在x=m和x=n处取得极值，

（1）求f（m）·f（n）的值；
（2）求证：f（x）在区间【m，n】上是增函数；
（3）设f（x）在区间【m，n】上的最大值和最小值分别为M和N，试问当实数a为何值时，M-N取得最小值，并求出这个最小值。

Answer 1

(1)
对f(x)和g(x)求导得：
f'(x) = (-2x² - 2ax + 2)/(x² + 1)²
g'(x) = 2x² + 2ax - 2
因为两个函数均在x = m 与 x = n处取得极值，通过观察其导函数的特征可得：
x = m 与 x = n 为方程 2x² + 2ax - 2 = 0 的两个不相等的实根
因此：
m + n = -a
mn = -1
进而求得：m² + n² = a² + 2 m²n² = 1
所以f（m）·f（n） = (4mn + 2a(m + n) + a²)/(m²n² + m² +n² + 1)
= (-4-a²)/(4+a²) = -1
(2)
由f(x)导函数可得，对于任意的x属于（m，n），-2x² - 2ax + 2为抛物线开口向下，所以其值大于零，所以f'(x)>0，所以f（x）在区间【m，n】上是增函数
(3)
因为f(x)在m，n两点连续，且在（m，n）单调递增，所以
M = f(n)，N = f(m)
M - N = f(n) - f(m) = (m - n)[2mn - 2 + a(m+n)]/(m²n² + m² +n² + 1) = n - m
= √[(m + n)² - 4mn ] = √(a² + 4)
当a = 0 时，M - N 最小，其最小值为2