Question

上限积分求导后，怎样看出在某个区间内是正负？

Answer 1

解：根据题意，由积分中值定理：
f'(x)
=2x∫(1,x²) e^(-t²)dt
=2x·[e^(-ε²)](x²-1)
其中：ε∈(1,x²)或(x²,1)
显然，e^(-ε²) > 0，因此只需判断其他两项就行了。

变上限积分是微积分基本 定理之一，通过它可以得到“牛顿——莱布尼茨”定理，它是连接不 定积分和定积分的桥梁，通过它把求定积分转化为求原函数，这样就使数学家从求定积分的和式 极限中解放出来了，从而可以通过原函数来得到积分的值！

变上限积分定理：连续函数f(x)在[a,b]有界，x属于（a,b)，取βX足够小，使x+βX属于（a,b），则存在函数F(x)=∫(0,x)f(t)dt, 使F(x)的导数为f(x)。

Answer 2

解：

根据题意，由积分中值定理：

f'(x)化简得：

=2x∫(1,x²) e^(-t²)dt。

=2x·[e^(-ε²)](x²-1)。

其中：ε∈(1,x²)或(x²,1)。

显然，e^(-ε²) > 0，因此只需判断其他两项就行了。

设函数y=f(x) 在区间[a，b]上可积，对任意x∈[a，b]，y=f(x)在[a，x] 上可积，且它的值与x构成一种对应关系（如概述中的图片所示），称Φ(x)为变上限的定积分函数，简称积分上限函数 。

如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，这就是积分变限函数。

注意事项：

1、函数变量是x，t为积分变量，两者应注意区别。

2、积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们只讨论积分变上限函数即可。

3、从几何上看，这个积分上限函数Φ(x)表示区间[a，x]上曲边梯形的面积。

Answer 3

解：
根据题意，由积分中值定理：
f'(x)
=2x∫(1,x²) e^(-t²)dt
=2x·[e^(-ε²)](x²-1)
其中：ε∈(1,x²)或(x²,1)
显然，e^(-ε²) > 0，因此只需判断其他两项就行了，相信你已经会了，就不再赘述了！

追问

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