留数的计算方法
展开成洛朗级数的方法：
比如，f(z)=1/[z·(z-1)²]
求：1.res[f(z),0]2.res[f(z),1]
1.把f(z)在圆环域：0＜|z|＜1内展开成洛朗级数：
f(z)=1/z·1/(z-1)²=1/z·(1+2z+3z²+……)
展开式的C(-1)=1
所以，res[f(z),0]=1
2.把f(z)在圆环域：0＜|z-1|＜1内展开成洛朗级数：
f(z)=1/(z-1)²·1/[1+(z-1)]
=1/(z-1)²·[1-(z-1)+(z-1)²-(z-1)³+……]
展开式的C(-1)=-1
所以，res[f(z),1]=-1
扩展资料：
留数定理是柯西积分定理和柯西积分公式的推广：
在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。
由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。由于z2 + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。
复分析把分析学方法从实变数推广到复变数。复数最初从代数方程可以存在普遍解中产生。它们采用a+bi的形式, 式中a和b是实数。a称为这个复数的实数部分,b是复数的虚数部分,i为根号-1,是虚数单位。
展开成洛朗级数的方法：
比如，f(z)=1/[z·(z-1)²]
求：1.res[f(z),0]2.res[f(z),1]
1.把f(z)在圆环域：0＜|z|＜1内展开成洛朗级数：
f(z)=1/z·1/(z-1)²=1/z·(1+2z+3z²+……)
展开式的C(-1)=1
所以，res[f(z),0]=1
2.把f(z)在圆环域：0＜|z-1|＜1内展开成洛朗级数：
f(z)=1/(z-1)²·1/[1+(z-1)]
=1/(z-1)²·[1-(z-1)+(z-1)²-(z-1)³+……]
展开式的C(-1)=-1
所以，res[f(z),1]=-1
留数是复变函数中的一个重要概念，指解析函数沿着某一圆环域内包围某一孤立奇点的任一正向简单闭曲线的积分值除以2πi。留数数值上等于解析函数的洛朗展开式中负一次幂项的系数。根据孤立奇点的不同，采用不同的留数计算方法。留数常应用在某些特殊类型的实积分中，从而大大简化积分的计算过程。
扩展资料
利用留数定理，可以将特殊类型的实积分转换为某个复变函数沿简单闭曲线的积分，然后利用留数定理计算，从而大大简化计算过程。
复系数洛朗级数是复分析中的一个重要工具，尤其在研究函数奇点附近的行为时。
e和洛朗近似：见文中解释。随着洛朗级数负次数的增长，图像接近正确的函数。 e和洛朗近似的负次数的增长。奇点零的邻域不能被近似。
考虑例如函数，它的 。作为实变函数，它是处处无穷可微的；但作为一个复变函数，在x = 0处不可微。用−1/x替换指数函数的幂级数展开式中的x，我们得到其洛朗级数，对于除了奇点X = 0以外的所有复数，它都收敛并等于ƒ(x)。旁边的图显示了e（黑色）和它的洛朗近似。
展开成洛朗级数的方法：
比如，f(z)=1/[z·(z-1)²]
求：1.res[f(z),0]2.res[f(z),1]
1.把f(z)在圆环域：0＜|z|＜1内展开成洛朗级数：
f(z)=1/z·1/(z-1)²=1/z·(1+2z+3z²+……)
展开式的C(-1)=1
所以，res[f(z),0]=1
2.把f(z)在圆环域：0＜|z-1|＜1内展开成洛朗级数：
f(z)=1/(z-1)²·1/[1+(z-1)]
=1/(z-1)²·[1-(z-1)+(z-1)²-(z-1)³+……]
展开式的C(-1)=-1
所以，res[f(z),1]=-1
扩展资料：
应用：
能计算以下三种定积分：
∫(0→2π) R(cosθ，sinθ) dθ、各种三角函数
∫(-∞→+∞) Q(x)/P(x) dx，其中Q(x)的次数至少比P(x)高二次、各种有理数
∫(-∞→+∞) R(x)cos(ax) dx 与 ∫(-∞→+∞) R(x)sin(ax) dx、各种有理数与三角函数的乘积
利用留数定理，可以将特殊类型的实积分转换为某个复变函数沿简单闭曲线的积分，然后利用留数定理计算，从而大大简化计算过程。
参考资料：百度百科-留数
解：设Re s=1/(z²sinz)。
显然，在丨z丨=1的域内，z=0是其一个三阶极点。
∵sinz=z-z³/6+z^5/(5!)+…+[(-1)^n]z^(2n+1)/[(2n+1)!]+…，n=0,1,2，…，∞，
∴f(z)=(1/z³)/∑[(-1)^n]z^(2n)/[(2n+1)!]。
而，1/∑[(-1)^n]z^(2n)/[(2n+1)!]=1/[1-z²/6+z^4/(5!)+…]=1+z²/6+7z^4/360+…，
根据留数的定义，n=-1时，系数an即f(z)的留数。∴Res[f(z),0]=1/6。
扩展资料
留数定理是柯西积分定理和柯西积分公式的推广：
在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。
由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。由于z2 + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。
复分析把分析学方法从实变数推广到复变数。复数最初从代数方程可以存在普遍解中产生。它们采用a+bi的形式, 式中a和b是实数。a称为这个复数的实数部分,b是复数的虚数部分,i为根号-1,是虚数单位。
参考资料来源：百度百科-留数
比如，f(z)=1/[z·(z-1)²]
求：（1）res[f(z),0]，（2）res[f(z),1]
（1）把f(z)在圆环域：0＜|z|＜1内展开成洛朗级数：
f(z)=1/z·1/(z-1)²=1/z·(1+2z+3z²+……)
展开式的C(-1)=1
所以，res[f(z),0]=1
（2）把f(z)在圆环域：0＜|z-1|＜1内展开成洛朗级数：
f(z)=1/(z-1)²·1/[1+(z-1)]
=1/(z-1)²·[1-(z-1)+(z-1)²-(z-1)³+……]
展开式的C(-1)=-1
所以，res[f(z),1]=-1
