Question

利用留数利用留数计算积分 ∮ze^(1/z)dz,c:|z|=1

Answer 1

在C内(|z|=2)，z=0是f(z)=[ln(1+z)]/z的孤立奇点，但z=-1不是f(z)的孤立奇点，ln(1+z)在z=-1以及小于-1的负实轴上不解析，所以f(z)在z=-1以及小于-1的负实轴上也不解析，所以无法应用留数定理计算积分∮f(z)dz，自然也无法计算f(z)在-1处的留数Res[f(z)，-1]。

Answer 2

f(z)的奇点有0,∞。在|z|=1内的奇点为0。
∮ze^(1/z)dz= 2πiRes[f(z),0]=-2πiRes[f(z),∞]
Res[f(z),∞]＝-Res[f(1/z)×1/ z^2,0]=-1/2
所以结果为πi

Answer 3

f(z)的奇点有0,∞。在|z|=1内的奇点为0。
∮ze^(1/z)dz= 2πiRes[f(z),0]=-Res[f(z),∞]= Res[f(1/z)×1/ z^2,0]=