Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x属于R，有f（4+x）=f（x），f（4-x）=-f（x）

若对任意a，b属于[-1,1]，a+b不等于0，都有[f（a）+f（b）]/（a+b）<0。(1)判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论。（2）判断f（x）在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论。

Answer 1

解：(1)f(x)为奇函数
证明：
由于：f(x+4)=f(x)
则f(x)周期为4
则：f(4-x)=f(-x+4*1)=f(-x)
又因为已知f(4-x)=-f(x)
则可得：f(-x)=-f(x)
即f(x)为奇函数

(2)f(x)在[-1,1]上的单调递减
证明：
由于：f(b)=-f(-b)
又：[f(a)+f(b)]/(a+b)<0
则：[f(a)-f(-b)]/[a-(-b)]<0
由于-1=<b<=1
则：-1=<(-b)<=1
令a=x1,-b=x2
由于：a+b不等于0
则：x1不等于x2
且[f(x1)-f(x2)]/[x1-x2]<0
不妨设x1>x2,则：f(x1)<f(x2)
即对任意x1,x2属于[-1,1]，x1>x2
都有f(x1)<f(x2)
则f（x）在[-1,1]上的单调递减
x1<x2时，同理

综上，f（x）在[-1,1]上的单调递减