已知函数f(x)=lnx-a/x,
(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为3/2,求a的值(3)若f(x)<x^2在(1,正无穷)上恒成立,求a的取值范围...
(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为3/2,求a的值
(3)若f(x)<x^2在(1,正无穷)上恒成立,求a的取值范围 展开
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为3/2,求a的值
(3)若f(x)<x^2在(1,正无穷)上恒成立,求a的取值范围 展开
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(1),函数f(x)=lnx-a/x定义域为R+,
当a>0时,f'(x)=1/x+a/x^2=(x+a)/x^2,
当x>0时, x+a>0,f'(x)>0。
所以函数f(x)在定义域R+上是单调递增的。
(2),f(x)在[1,e]上的最小值为3/2,
当a>0时,最小值为:f(1)=ln1-a=3/2,
a=-3/2,与a>0矛盾;
当a<0时,f'(x)=(x+a)/x^2,
当x>-a 时,f'(x)>0。函数f(x)在定义域R+上单调递增,
在[1,e]上的最小值为:f(1)=ln1-a=3/2,
a=-3/2;此时 1<=x<=e,1<=3/2<=e,符合题意。
而当x<-a时,f'(x)<0。函数f(x)在定义域R+上单调递减,
在[1,e]上的最小值为:f(e)=lne-a/e=1-a/e=3/2,
a=-e/2。此时 1<=x<=e,1<=e/2<=e,符合题意。
综上可知:a=-3/2,或 -e/2。
故所求a的值为:-3/2,或 -e/2。
(3),f(x)<x^2在(1,正无穷)上恒成立,即
lnx-a/x-x^2<0在(1,正无穷)上恒成立,
a>x*lnx-x^3 (x>1)
令 y=x*lnx-x^3,则:
y'=lnx+1-3x^2,
y''=1/x-6x=(1-6x^2)/x,
当x>1时,y''<0,
所以函数y'=lnx+1-3x^2在(1,正无穷)上单调递减,
所以y‘<ln1+1-3=-2<0,
所以函数y=x*lnx-x^3在(1,正无穷)上单调递减,
所以 a>ln1-1^3=-1。
故所求a的取值范围为:a>-1。
当a>0时,f'(x)=1/x+a/x^2=(x+a)/x^2,
当x>0时, x+a>0,f'(x)>0。
所以函数f(x)在定义域R+上是单调递增的。
(2),f(x)在[1,e]上的最小值为3/2,
当a>0时,最小值为:f(1)=ln1-a=3/2,
a=-3/2,与a>0矛盾;
当a<0时,f'(x)=(x+a)/x^2,
当x>-a 时,f'(x)>0。函数f(x)在定义域R+上单调递增,
在[1,e]上的最小值为:f(1)=ln1-a=3/2,
a=-3/2;此时 1<=x<=e,1<=3/2<=e,符合题意。
而当x<-a时,f'(x)<0。函数f(x)在定义域R+上单调递减,
在[1,e]上的最小值为:f(e)=lne-a/e=1-a/e=3/2,
a=-e/2。此时 1<=x<=e,1<=e/2<=e,符合题意。
综上可知:a=-3/2,或 -e/2。
故所求a的值为:-3/2,或 -e/2。
(3),f(x)<x^2在(1,正无穷)上恒成立,即
lnx-a/x-x^2<0在(1,正无穷)上恒成立,
a>x*lnx-x^3 (x>1)
令 y=x*lnx-x^3,则:
y'=lnx+1-3x^2,
y''=1/x-6x=(1-6x^2)/x,
当x>1时,y''<0,
所以函数y'=lnx+1-3x^2在(1,正无穷)上单调递减,
所以y‘<ln1+1-3=-2<0,
所以函数y=x*lnx-x^3在(1,正无穷)上单调递减,
所以 a>ln1-1^3=-1。
故所求a的取值范围为:a>-1。
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(1)f'(x)=1/x-a
当1/a>x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增
当x>1/a时 , f'(x)<0 ,f(x)单调递减
当1/a>x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增
当x>1/a时 , f'(x)<0 ,f(x)单调递减
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2011-01-29
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