Question

一道数学高中三角题目

在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）CosB=bCosC
（1）求角B的大小
（2）设m=（CosA，Cos2A），n=（-12/5，1）且m*n取最小值时，求tan（A-派/4）

Answer 1

(1)
(2a-c)cosB=bcosC
正弦定理得:
(4RsinA-2RsinC)cosB=2RsinBcosC
2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
2sinAcosB=sin(B+C)
2sinAcosB=sinA
则：cosB=1/2
得B=π/3

(2)由于：A+B+C=π，B=π/3
则：A属于(0,2π/3)
m*n
=(cosA,cos2A)*(-12/5,1)
=-(12/5)cosA+cos2A
=2cos^2(A)-(12/5)cosA-1
设t=cosA (t属于(-1/2,1))
由于2t^2-(12/5)t-1
=2(t-3/5)^2-43/25
则当t=cosA=3/5时，m*n取最小值
则：sinA=√[1-cos^2(A)]=4/5
则：tanA=sinA/cosA=4/3
则：tan(A-π/4)
=[tanA-tan(π/4)]/[1+tanAtan(π/4)]
=[4/3-1]/[1+4/3]
=1/7