Question

高一数学必修一 证明单调性

已知函数 f(x)=x^m-4/x,且f(4)=3, 判断f(x)在（0，+∞）上的单调性，并给予证明

要解析呀！！

Answer 1

f(x)=x^m-4/x,且f(4)=3,
即f(4)=4^m-4/4=3
4^m=4
m=1
故f(x)=x-4/x
函数f(x)在(0,+无穷)上是单调增函数.
证明:设x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=(x1-4/x1)-(x2-4/x2)=(x1-x2)+(4/x2-4/x1)
=(x1-x2)+4(x1-x2)/(x1x2)
由于x1-x2>0,x1x2>0
故f(x1)-f(x2)>0
所以,函数在(0,+无穷)上是单调增函数.

Answer 2

解：
把f(4)=3代入f(x)=x^m-4/x得：4^m-4/4=3
m=1
∴f(x)=x-4/x
设0<x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1-4/x1-x2+4/x2
=(x1-x2)-((4x2-4x1)/x1x2)
=(x1-x2)(1+4/x1x2)<0
∴f(x1)<f(x2)
∴单调递增

Answer 3

由f(4)=3可得m=1，
则可根据定义证明单调性