Question

证明三角形ABC中sinA/h(a)+sinB/h(b)+sinC/h(c)大于等于根号3/R（h(a)为a边上的高，R为外接圆半径）

Answer 1

考虑到(1/2)ah(a)=(1/2)bcsinA(都为面积)，所以h(a)=bcsinA/a
同理h(b)=acsinB/b，h(c)=absinC/c，故要证原不等式，只需证a/bc+b/ac+c/ab≥√3/R
考虑到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，故即证4R²sin²A+4R²sin²B+4R²sin²C≥√3×8R³sinAsinBsinC/R
即sin²A+sin²B+sin²C≥2√3sinAsinBsinC (1)
考虑到sin²A+sin²B+sin²C≥3 ³√(sinAsinBsinC)²，为方便，记³√(sinAsinBsinC)=x
故要证(1)只需证3x²≥2√3x³，即证x≤√3/2
而3 ³√(sinAsinBsinC)≤sinA+sinB+sinC=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+sinC=2cos(C/2)cos((A-B)/2)+sinC≤2cos(C/2)+sinC，令cos(C/2)=u(0<u<1)，则sinC=2u√(1-u²)，所以2cos(C/2)+sinC=2u(1+√(1-u²))，令f(u)=2u(1+√(1-u²))，对其求导讨论可得其最大值为3√3/2，所以³√(sinAsinBsinC)≤√3/2，于是原不等式得证
(事实上如果你会琴生不等式，由于sinx在(0,π)上是凸函数，可直接得到³√(sinAsinBsinC)≤(sinA+sinB+sinC)/3≤sin((A+B+C)/3)=√3/2)
望楼主采纳