Question

设矩阵A=第一行1，0。第二行 2 ，1

AX= X11 X12
2X11+X21 2X12+X22

XA= X11+2X12 X12
X21+2X22 X22
由AX=XA。可推出X12=0，X11=X22，且x11，X21可任意取值，即得：
X=X11 0
X21 X11

问：1，X的值是以什么方法求出的
2，X的计算过程
3，X12为什么等于0
4，X11为什么等于X22，
5，X11,X21为什么可以任意取值。
问题：设矩阵A= 1 0
2 1，求出所有与A可交换的矩阵。

Answer 1

这里是利用“待定系数法”求所有与A可交换的矩阵。
假设矩阵X是与A可交换的矩阵，即AX=XA，因为A是2*2的矩阵，所以X也是2*2的矩阵（由A与X可以相乘时对阶数的限制条件得到），所以可设
X=(x11 x12
x21 x22)
从而AX= X11 X12
2X11+X21 2X12+X22

XA= X11+2X12 X12
X21+2X22 X22
（注：以上由矩阵相乘得到）
因为AX＝XA，根据矩阵相等的定义（对应位置对应元素相等），可得四个等式：
X11 = X11+2X12
X12= X12
2X11+X21 = X21+2X22
X12= 2X12+X22
由第一个等式解得：X12=0 （表明矩阵X的第1行第2列元素是0）
由第三个等式解得：X11=X22 （表明矩阵X的两个主对角线元素相等）
四个等式对元素X21均无限制，所以X21可以任意取值。
所以与A可交换的矩阵X的一般形式为：
X=X11 0
X21 X11

Answer 2

由于AX＝XA，所以
X11 = X11+2X12 X12= X12
2X11+X21 = X21+2X22 X12= 2X12+X22
3.因为只有a+0=a，所以 X12=0。
4.因为只有b=c时a+b=a+c，所以X11=X22。
5.因为a去任何值都能使a+0=a、a+b=a+b，所以X11,X2可以任意取值。

Answer 3

如果AX=XA这些结果很正常也很简单，只是不知这个条件是题目给定的还是怎么的，一般来说，对于矩阵,AX不等于XA。