Question

三次根号下(5+根号2)+三次根号下(5-根号2)与2倍(三次根号下5)的大小关系

Answer 1

设
x=三次根号下(5+根号2)
y=三次根号下(5-根号2)
z=三次根号下5
x-z=(x^3-z^3)/(x^2+xz+z^2)=sqrt(2)/(x^2+xz+z^2)
z-y=(z^2-y^3)/(z^2+zy+y^2)=sqrt(2)/(z^2+zy+y^2)
(x^2+xz+z^2)>(z^2+zy+y^2)
故x-z<z-y
x+y<2z
三次根号下(5+根号2)+三次根号下(5-根号2) < 2倍(三次根号下5)

Answer 2

解：设a=(5+√2)^(1/3), b=(5-√2)^(1/3),则a>b>0.
(5+√2)^(1/3)+ (5-√2)^(1/3)=a+b, a³=5+√2，b³=5-√2，
2×5^(1/3)=2[( a³+b³)/2]^(1/3)
于是{2[( a³+b³)/2]^(1/3)}³-（a+b）³=3（a-b）²（a+b）>0
所以(5+√2)^(1/3)+ (5-√2)^(1/3)< 2倍(三次根号下5)