Question

考研数学，求解~

Answer 1

分母趋於零，分子趋於非零常数，可以直接得到分式趋於无穷.
证明：设x趋於a时F(x)=f(x)/g(x)中g(x)趋於0，f(x)趋於c≠0，且存在a的去心邻域使其中g(x)恒不为零.
则由f(x)趋於c≠0，存在d1>0使0<|x-a|<d1时|f(x)|>|c|/2>0；由g(x)趋於0，任取M>0，1/M>0，存在d2>0使0<|x-a|<d2时0<|g(x)|<1/M；则对於M>0，存在d=min{d1,d2}使0<|x-a|<d时|F(x)|=|f(x)/g(x)|>c/2*M，故F(x)趋於无穷.

追问

😥这么复杂

追答

这个只是写得有点儿麻烦，其实证明并不复杂，而且可以直接用，不用证明。

追问

哦，那如果想考好考研数学的话，您写的那些过程我是不是必须要懂啊？😂

追答

我也不知道考研考嘛.那个证明就是依据极限的定义作的，如果极限的定义要求的话，那个证明是需要能自己证的.

追问

😱😱我还有几个问题

就是针对刚刚您写的那一段话，我有些地方没太懂。能帮忙稍稍解释一下吗。😄

追答

1. 否则任取d>0，存在x满足0<|x-a|<d但F(x)不存在，这时F(x)在a处极限不存在且亦不发散至无穷.

2. 由f(x)趋於c≠0，取e=|c|/2>0，存在d1>0，使0<|x-a|<d1时|f(x)-c|<e=|c|/2，又|c|-|f(x)|<|f(x)-c|，故|f(x)|>|c|/2.例如，将e取作|c|/3，|c|/4等亦可以.

3. 因为0<|x-a|<d1时|f(x)|>|c|/2>0，0<|x-a|<d2时0<|g(x)|<1/M，而後面|F(x)|=|f(x)/g(x)|>c/2*M需要这两个式子同时成立，故取d=min{d1,d2}使0<|x-a|<d时0<|x-a|<d≤d1且0<|x-a|<d≤d2.

Answer 2

可以啊，那个在考研过程中是直接可以得出来的，不用专门写出过程的。

追问

哦哦。好的。谢谢！

Answer 3

可以这样快速计算，但是正式写答案得严谨点，像答案那样给出具体计算过程。

追问

哦！分母是0，分子不是0时答案一定是无穷吗？

追答

是的

追问

这道题可以这么写吗？？

追答

也可以，不过因为x²是2x+1的高阶无穷函数，所以可以根据定义直接得到答案为无穷，更简单