Question

高数题：（1） (y-x³)dx-2xdy=0 (2) 2ydx+(y³-x)dy=0

Answer 1

解:
(1)点A在抛物线上，于是 m^2=8p，
抛物线的准线方程为:y=-p/2，
点A到其焦点的距离与到准线的距离相等，故 4+p/2=17/4，
由上面两个式子可得:p=1/2，m=2。

(2)抛物线方程为y=x^2。P点坐标为P(t, t^2)，设Q(x1, x1^2)、M(m, 0)、N(x2, x2^2)，则x1、x2、t两两不同。

由P、Q、M三点共线得，PM、QM、PQ斜率相等:
t^2/(t-m)=x1^2/(x1-m)=(x1^2-t^2)/(x1-t)=x1+t，
所以，
t^2=(t-m)(x1+t) ……①a
x1^2=(x1-m)(x1+t) ……①b

MQ的斜率为x1^2/(x1-m)，PQ斜率为(x1^2-t^2)/(x1-t)=x1+t，NQ的斜率为(x1^2-x2^2)/(x1-x2)=x1+x2，由MQ⊥NQ得:
x1^2/(x1-m)*(x1+x2)=-1，
即 x1^3+x1+x1^2*x2=m， ……②a
由PQ⊥NQ得:(x1+t)*(x1+x2)=-1， ……②b

对抛物线方程y=x^2求导得:y'=2x，
抛物线上N点的切线的斜率为:2*x2，
直线MN的斜率为:x2^2/(x2-m)，
由于直线MN与抛物线相切，故 x2^2/(x2-m)=2*x2，即，
x2*(2m-x2)=0， ……③
故x2=0或x2=2m。