Question

已知n维向量组a1.a2.a3线性无关，证明a1. a1+a2 a1+a2+a3线性无关

Answer 1

反证法即可，设a1， a1+a2，a1+a2+a3线性相关，那么存在一组不全为零的数x，y，z使得xa1+y（a1+a2）+z（a1+a2+a3）=0，若z≠0，那么变形可知a3=(xa1+y（a1+a2）+z（a1+a2）)/z，即a3可以由a1，a2线性表出，与它们线性无关矛盾，故z=0；进一步若y≠0，那么类似得到a2可以由a1线性表出，也矛盾，故y=0，进一步推出x=0，而这与x，y，z不全为0矛盾，故假设不成立，即a1， a1+a2，a1+a2+a3线性无关；