Question

高中数学问题~求大神解答！

Answer 1

(1)求导数，f'(x)=3x^2+2bx+3，判别式大于零，有b^2>9，所以b<-3，3x_1^2+2bx_1+3=0，有f(x_1)=x_1^3+bx_1^2+3x_1=(2-2/9*b^2)x_1-b/3. f(x_1)<1 等价于 证明2(1-b/3)x_1>1，等价于证明1/x_1<2-2b/3，由f'(x_1)=0得1/x_1=-x_1-2b/3<-2b/3<2-2b/3得证
(2)由(1)，当-3<=b<0时，f'(x)>=0函数恒增，f(0)=0，若让-1<=f(x)<=16，令f(t)=16即可，即t=f^(-1)(16)为最大。当b<-3时，f(x)在[0,x_1]增，[x_1,x_2]减，[x_2,+@]增，但f(0)=0,f(x_1)<1，我们来证f(x_2)>=-1，这等价于1/x_2>=-2-2b/3，但是1/x_2=-x_2-2b/3,所以x_2<=2, 推出(b^2-9)^(0.5)-b<=6推出-15/4<=b<-3。也就是说，当-15/4<=b<-3的时候，t最大取到使f(t)=16，而且这个t是唯一的,t=f^(-1)(16)。当b<-15/4时，t最大取到使f(t)=-1，此时t是使得t为整数且f(t)=-1的唯一值。