Question

二阶线性非齐次微分方程有共轭复根α±βi ，其特解设定形式的βα一样吗

Answer 1

不一样：y(x) = c1e^[(α+iβ)x] + c2e^[(α-iβ)x]。

= e^(αx) [c1e^(iβx) + c2e^(-iβx)] 。

下面利用欧拉公式：e^(ix) = cosx + isinx。

= e^(αx) [c1(cosβx + isinβx) + c2(cosβx-isinβx)]。

扩展资料：

一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=Q(x)。

齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。

二阶常系数齐次线性微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程。

标准形式：y″+py′+qy=0。

特征方程：r^2+pr+q=0。

两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。

两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)。

一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)。

二阶常系数非齐次线性微分方程。

Answer 2

y(x) = c1e^[(α+iβ)x] + c2e^[(α-iβ)x]
= e^(αx) [c1e^(iβx) + c2e^(-iβx)] 下面利用欧拉公式：e^(ix) = cosx + isinx
= e^(αx) [c1(cosβx + isinβx) + c2(cosβx-isinβx)]
= e^(αx) [(c1+c2)cosβx + i(c1-c2)sinβx]
= e^(αx) (C1cosβx + C2sinβx)
C1,2 由初始条件确定