Question

求这个题的详细解题过程，函数值等于多少，左极限和右极限分别是多少？

Answer 1

这个不用分别求左右极限，直接求极限就可以了。
因为tanx=sinx/cosx
所以x/tanx=xcosx/sinx
所以lim（x→π/2）x/tanx
=lim（x→π/2）xcosx/sinx
=（π/2）cos（π/2）/sin（π/2）
=（π/2）*0/1
=0
极限是0，所以在x=π/2点处有极限，是可去间断点。

追问

间断点的类型不就是必须通过对比左右极限和函数值么？

追答

没这个说法，间断点需要求极限来确定是什么间断点，而求极限的方法，可以是直接求，也可以是求左右极限进行比较。如果直接求能求出来，就无需去分左右极限求了。学数学，不能机械的背诵，更不能机械的对比，看到其他的间断点是分别求左右极限的，不去理解为什么那些题目要分别求左右极限，而是直接认为间断点必须求左右极限，能直接求极限也不干，这就学不好数学了。
分左右极限求的，大多是左右两边的函数表达式不一样的时候，左右两边的函数表达式一样，就可以试着直接求，而不是一定要分左右极限分别求。

追问

那您的意思是，只要极限值是0都是可去间断点了？

追答

你理解什么是可去间断点吗？根据可去间断点的定义，注意，是定义：极限值不等于函数值的点就睡可去间断点。
所以没有极限的点不可能是可去间断点，极限值等于函数值的点是连续点而不是可去间断点。
现在这个x=π/2点，极限是0，有极限值，而这个函数在x=π/2处没有定义，没有函数值（因为分母在该点无定义），所以极限值当然不可能等于函数值，那么根据定义，就是可去间断点啊。你不这样判断，还能怎样判断？定义是判断一切的最基本的依据。
所以不是说极限是0的，就是可去间断点，而是任何有极限值（包括极限是1，极限是2.极限是-3.7等情况）的间断点，都是可去间断点，因为这是可取间断点的定义。

理解什么是可去间断点吗？根据可去间断点的定义，注意，是定义：极限值不等于函数值的点就是可去间断点。
所以没有极限的点不可能是可去间断点，极限值等于函数值的点是连续点而不是可去间断点。
你现在这个x=π/2点，极限是0，有极限值，而这个函数在x=π/2处没有定义，没有函数值（因为分母在该点无定义），所以极限值当然不可能等于函数值，那么根据定义，就是可去间断点啊。你不这样判断，还能怎样判断？定义是判断一切的最基本的依据。
所以不是说极限是0的，就是可去间断点，而是任何有极限值（包括极限是1，极限是2.极限是-3.7等情况）的间断点，都是可去间断点，因为这是可取间断点的定义

追问

懂了，谢谢。