高数大神解答
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因为f'(1)存在
所以lim(t->0) [f(1+t)-f(1)]/t
=lim(t->0) f[(1+t)/1]/t
=lim(t->0) f(1+t)/t存在
则当x≠0时，f'(x)=lim(t->0) [f(x+t)-f(x)]/t
=lim(t->0) f[(x+t)/x]/t
=lim(t->0) f(1+t/x)/t
=lim(t->0) (1/x)*f(1+t/x)/(t/x)
=(1/x)*f'(1)
所以lim(t->0) [f(1+t)-f(1)]/t
=lim(t->0) f[(1+t)/1]/t
=lim(t->0) f(1+t)/t存在
则当x≠0时，f'(x)=lim(t->0) [f(x+t)-f(x)]/t
=lim(t->0) f[(x+t)/x]/t
=lim(t->0) f(1+t/x)/t
=lim(t->0) (1/x)*f(1+t/x)/(t/x)
=(1/x)*f'(1)
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