Question

高数 定积分 请问红线部分的换元方法怎样想到？

Answer 1

我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量,在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数.因此,在一定条件下,可以用换元法来计算定积分.
定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续；函数g(t)在区间[m,n]上是单值的且有连续导数；当t在区间[m,n]上变化时,x=g(t)的值在[a,b]上变化,且g(m)=a,g(n)=b；则有定积分的换元公式:
例题:计算
设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时,t=0；当x=a时,t=π/2.于是：
注意：在使用定积分的换元法时,当积分变量变换时,积分的上下限也要作相应的变换.
定积分的分部积分法
计算不定积分有分部积分法,相应地,计算定积分也有分部积分法.
设u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u'(x)、v'(x),则有(uv)'=u'v+uv',分别求此等式两端在[a,b]上的定积分,并移向得：
上式即为定积分的分部积分公式.
例题：计算
设,且当x=0时,t=0；当x=1时,t=1.由前面的换元公式得：
再用分部积分公式计算上式的右端的积分.设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.于是：