Question

已知函数f(x)=x3+ax2+bx若函数f(x)在x=2处有极值-6,求y=(x)的单调递减区间 若y=(x

已知函数f(x)=x3+ax2+bx
1,若函数f(x)在x=2处有极值-6,求y=(x)的单调递减区间
2 若y=(x)的导数f'(x)对x∈[-1,1]都有f'(x)≤2，求b/a-1的取值范围

Answer 1

f(x)=x3+ax2+bx
f'=3x^2+2ax+b
x=2处有极值-6
f'(-2)=3*(-2)^2+2a*(-2)+b=12-4a+b=0......(1)
f(-2)=(-2)^3+a*(-2)^2+b=8+4a+b=-6......(2)
由（1）、（2）解得：
a=-1/4，b=13
f(x)=x^3-1/4x^2+13x
f'(x)=3x^2-1/2x+13=1/2(6x^2-x+26)=1/2(x+2)(6x-13)
x∈(-∞，-2）和（13/6，+∞）时，f'(x)＞0，f(x)单调增
x∈（-2，13/6）时，f'(x)＜0，f(x)单调减

f'(x)对x∈[-1,1]都有f'(x)≤2
3x^2+2ax+b≤2
即：g(x)=3x^2+2ax+b-2=3[x^2+2a/3 x+（b-2)/3]≤0
x∈[-1,1]都有f'(x)≤2
相当于x^2+2a/3 x+（b-2)/3=(x+1)(x-1)=x^2-1
即：2a/3=0，（b-2)/3=-1
∴a=0，b=-1
b/(a-1)=-1/(0-1)=1

Answer 2

第一问应该是(-1/3,2)吧

f(x)=x3+ax2+bx
f'=3x^2+2ax+b
x=2处有极值-6
f'(2)=3*2^2+2a*2+b=12+4a+b=0......(1)
f(2)=2^3+a*2^2+2b=8+4a+2b=-6......(2)
由（1）、（2）解得：
所以a=-5/2,b=-2

递减则f'(x)=3x²-5x-2<0
(x-2)(3x+1)<0
-1/3<x<2
所以减区间是(-1/3,2)