Question

已知函数f(x)=4^x+a×2^(x+1)+4 (1)当a=1时，求函数f（x）的值域

（2）若关于x的方程f（x）=0有两个大于0的实根，求a的取值范围
（3）当x∈（1,2）时，求函数f（x）的最小值。

Answer 1

（1）f(x)=4^x+2^(x+1)+4 所以f(x)=(2^x)^2+2×2^x+4 设t=2^x 所以f(x)=t^2+2t+4 所以f(x)=(t+1)^2+3 又因为x∈R 所以f(x)∈（3，正无穷）
（2）当4^x+a×2^(x+1)+4=0时有两个大于0的实根，设t=2^x 所以f(x)=t^2+2at+4 所以△＞0 所以△=4a^2-16＞0 所以a^2＞4所以a＞2或a＜-2
(3)因为t=2^x ，f(x)=t^2+2at+4 x∈（1,2）所以t∈（2，4）f(x)=(t+a)^2-a^2+4 当t=a时 f(x)取得最小值 所以最小值为a^2-4