Question

求lim[(x^a+8x^4+2)^k-x]，x趋向于正无穷，a>=5且为常数，k为何值时极限存在并求出极限值

Answer 1

0<k=1/a≤1/5

=limx((1+8x^(4-a)+2x^(-a))^(1/a)-1)

=limx(8x^(4-a)+2x^(-a))/a

a=5时极限=8/a，a>5是极限=0

u=8x^(4-a)+2x^(-a)~0，(1+u)^(1/a)=e^(ln(1+u)/a)~e^(u/a)~u/a+1

函数极限可以分成  ，而运用ε-δ定义更多的见诸已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。

以  的极限为例，f(x) 在点  以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数  ，使得当x满足不等式  时，对应的函数值f(x)都满足不等式：

 ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。

扩展资料：

有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。

1、夹逼定理：

（1）当  (这是  的去心邻域，有个符号打不出）时，有  成立。

（2）  ,那么，f(x)极限存在，且等于A不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。

2、单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

3、柯西准则：数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有  成立。

参考资料；百度百科——函数极限

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

0<k=1/a≤1/5
=limx((1+8x^(4-a)+2x^(-a))^(1/a)-1)
=limx(8x^(4-a)+2x^(-a))/a
a=5时极限=8/a，a>5是极限=0
u=8x^(4-a)+2x^(-a)~0，(1+u)^(1/a)=e^(ln(1+u)/a)~e^(u/a)~u/a+1

追问

虽然你答案做法都是对的 不过我有点看不懂 请问能给出直接代k的计算么 谢谢

追答

a≥5>4，所以k只有等于1/a时两个才是同阶无穷小，相减时极限才存在

然后a=5时极限才不为0，也就是k=1/5时极限=8/5