Question

一道高中文科数学题，题目如下：

已知函数f(x)=ax(a属于R),g(x)=lnx-1
(1)若函数h(x)=g(x)+1-x/2f(x)-2x存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)当a>0时，试讨论这两个函数图象的交点个数。

请帮忙讲解一下步骤，拜托了！非常感谢！！O(∩_∩)O~

Answer 1

我给你分析：1）求导得h'(x)=1/x-ax-2=(-ax^2-2x+1)/x，x>0，令h'(x)=0,得i)当a=0，x>1/2时h'(x)<0,即存在h(x)单调递减。ii)当a!=0,判别式=4(a+1),于是当a<=-1,有h(x)>0恒成立，知h(x)不存在单调减区间。iii)当a>-1,得h'(x)=0两根x1,2=(1+-(1+a)^0.5)/(-a)，(其中0<x1<x2，负根得舍去)当-1<a<0,x1<x<x2时,有h'(x)<0,即存在h(x)单调递减。当a>0,x>x2时,有h'(x)<0也存在h(x)单调递减。综上，满足条件的a取值范围为:a>-1。2）令f(x)=g(x),得ax=lnx-1,(x>0)，分离常数得a=(lnx-1)/x,于是问题转化为直线y1(x)=a与曲线y2(x)=(lnx-1)/x交点个数的讨论，求导易得y'2(x)=(2-lnx)/x^2=0,得唯一驻点x=e^2,当0<x<e^2,y'2(x)>0,y2(x)单调递增，当x>e^2,y'2(x)<0,y2(x)单调递减，于是极大值y2(x)=y2(e^2)=1/e^2,且此极大值必为其最大值。又易知x趋于零时limy2(x)=-无穷；x趋于+无穷limy2(x)=lim(lnx-1)'/x'=lim1/x=0,这里用到了洛必达法则（无穷大比无穷型），y2(e)=0,于是我们大致作出y2(x)草图并y1(x)=a用去截y2(x)图得：i)当a<=0,a=1/e^2两图像仅有一个交点。ii)0<a<1/e^2两图像有两个交点。iii)当a>1/e^2两图像无交点。

Answer 2

hi我解释。。。