Question

高中圆锥曲线题

已知椭圆x^2/2+y^2=1，左右焦点为F1,F2。 过点F1的直线l与该椭圆交于M,N两点，以F2M,F2N为邻边作平行四边形MF2NP，求该平行四边形对角线F2P的长度的取值范围
做出了给加分。谢谢。

Answer 1

分析：此类问题用向量求解比较方便
解：设直线l的方程为x=my-1，又x²/2+y²=1，联立方程解得（m²+2）y²-2my-1=0
△＞0恒成立，设M（x1，y1）N（x2，y2），向量F2M=（x1-1，y1）向量F2N=（x2-1，y1）
向量F2P=向量F2M+向量F2N=（x1+x2-2，y1+y2），所以F2P²=（x1+x2-2）²+（y1+y2）²=
（x1+x2）²-4（x1+x2）+4+（y1+y2）²
由上面的方程可知y1+y2=2m/（m²+2），x1+x2=m（y1+y2）-2=2m²/（m²+2）-2=-4/（m²+2）
所以F2P²=16/（m²+2）²+16/（m²+2）+4m²/（m²+2）²+4
令m²+2=1/t（t∈(0，1/2]），则F2P²=8t²+20t+4∈(4,16]
所以F2P∈（2,4]

Answer 2

∵a²=2 b²=1
∴a=根号2，b=1，c=1
当F2P最长时，是MN被P平分，（F2P）max=4
当F2P趋近于最短时，F2P与F1F2重合时，（F2P）min=2（取不到）
∴F2P∈（2,4]