Question

数列{an}的前n项和sn=n(2n-1)an并且a1=1/3求此数列的通项公式及前n项和公式 过程请务必写清楚！！！谢谢！

Answer 1

当n≥2时，
∵an=sn-s(n-1)
=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)a(n-1)
∴[n(2n-1)-1]an=(n-1)(2n-3)a(n-1)
∴(n-1)(2n+1)an=(n-1)(2n-3)a(n-1)
∴an/a(n-1)=(2n-3)/(2n+1)…………………………①
由上式可知a(n-1)/a(n-2)=(2n-5)/(2n-1)…………②
a(n-2)/a(n-3)=(2n-7)/(2n-3)…………③
……
a3/a2=3/7………………………………第（n-2）个
a2/a1=1/5………………………………第（n-1)个
将上面（n-1)个式子叠乘，可得an/a1=3/(2n+1)(2n-1)
∴an=3a1/(2n-1)(2n+1)
=1/(2n-1)(2n+1）
当n=1时，符合上式
综上：an=1/(2n-1)(2n+1)

∵an=1/(2n-1)(2n+1)
=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
∴sn=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]+1/2[1/(2n-3)-1/(2n-1)]+……+1/2(1-1/3)
=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)+1/(2n-3)-1/(2n-1)+1/(2n-5)-1/(2n-3)+……+1/5-1/7+1/3-1/5+1-1/3]
=1/2[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)

Answer 2

Sn=n(2n-1)an
S(n+1)=(n+1)(2n+1)a(n+1)
上两式相减，得
a(n+1)/an=(2n-1)/(2n+3)
a(n)/a(n-1)=(2n-3)/(2n+1)
...
a2/a1=1/5
上n式相乘
得a(n+1)/a1=3/[(2n+3)(2n+1)]
则a(n)=1/[(2n+1)(2n-1)]（n>1）
又因为a1符合上式
∴a(n)=1/[(2n+1)(2n-1)]（n>0)
∴Sn=n/(2n+1)

Answer 3

sn=n(2n-1)an
s(n-1)=(n-1)(2n-3)a(n-1)
两式相减得：an=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)a(n-1)
(2n+1)(n-1)an=(n-1)(2n-3)a(n-1)
an=[(2n-3)/(2n+1)]*a(n-1)=12/[(2n+1)(2n-1)]a1=4/[(2n+1)(2n-1)]
将an带入，sn=n(2n-1)*4/[(2n+1)(2n-1)]=4n/(2n+1)