Question

定义在（负无穷，0）U（0，正无穷）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），

且f（x）是区间（0，正无穷）上的增函数（1）求f（1），0f（-1）的值（2）求证：f（x）为偶函数（3）解不等式f（2）+f（x-1/2）<=0

Answer 1

（1）f（xy）=f（x）+f（y）
∴f(1)=f(1)+f(1)
∴f(1)=0
∵f(1)=f(-1)+f(-1)
∴f(-1)=0
（2）
f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)
∴f（x）为偶函数
（3）
f（2）+f（x-1/2）≤0
f（2x-1）≤0=f（1）=f（-1）
因为f（x）是区间（0，正无穷）上的增函数
所以2x-1≤-1或者2x-1≥1
x≤0或者x≥1

Answer 2

（1）令x=1，y=-1，则f（-1×1）=f（1）+f（-1）所以f（1）=0，
由下面证得为偶函数，所以f（-1）=f（1）=0

（2）f（-1×x）=f（x）+f（-1），又f（-1）=0，所以f（x）=f（-x）又定义域关于原点对称，所以是偶函数。

（3）由题干可得f（2）+f（x-1/2）=f（2x+1）≤0，所以当2x+1＞0时，即x＞-1/2时，有2x+1≤1，x∈（-1/2，0）
当x＜-1/2时，函数为减函数，2x+1≥-1，所以x∈[-1,1/2）
综上x∈[-1,-1/2)∪（-1/2，0）