Question

高三抽象函数问题

定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+2)，当x>1时，f(x)单调递增。如果x1+x2>2且
(x1-1)(x2-1)<0，则f(x1)+f(x2)的值
A、恒小于0 B、恒大于0 C、可能为0 D、可正可负

Answer 1

B
由函数f(x)满足f(-x)=-f(x+2)，用1-x代替-x可得f(1-x)=-f(1+x),即f(x)以(1,0)为原点中心对称
又当x>1时，f(x)单调递增，则得x<1时，f(x)单调递增,且f(1)=-f(1)即f(1)=0
即f(x)在R上单调递增
令x1>x2,则由(x1-1)(x2-1)<0得x1>1,x2<1
故由x1+x2>2得x1>x0=2-x2
由f(x)在R上单调递增得f(x1)+f(x2)>f(x0)+f(x2)=f(2-x2)+f(x2)=-f(x2)+f(x2)=0