Question

初中圆几何题一道

如图，已知在半圆中，O是圆心。A，B是半圆上任两点。AC、BD垂直于直径，BE⊥OA。求证：ED=AC。 注：请使用初中知识解答，不要用三角函数的有关公式。

Answer 1

我只会用三角函数
AC=r×sin∠AOC
sin∠AOC=sin∠AOD
根据正弦定理：
sin∠AOD / ED=sin∠EDO / EO
因为E、B、D、O四点共圆，
所以∠EDO=∠EBO
sin∠EBO = EO/r
ED=r×sin∠AOD

所以ED=AC

终于想到另一方法：
因为E、B、D、O四点共圆，
所以∠EDO=∠EBO
过E做CD的垂线交CD于F。
EF/ED = EO/BO
ED/OB = EF/EO =AC/AO
所以ED=AC

Answer 2

解：∵BE⊥AO，BD⊥CD

∴∠BDO=∠BEO=90° 即∠BDO+∠BEO=180°
∴四边形BDOE四点共圆

连接BO，过E做CD的垂线交CD于F。

∴∠EDO=∠EBO，且∠EFD=∠OEB=90°
∴△OEB~△EFD（两个三角形相似）
∴ED/OB = EF/EO =AC/AO；AO=OB
∴ED=AC

ps：不是 Me 解的……Me 只是 帮你问了一下 鸟（捂脸）

Answer 3

正确解法就是二楼的解法
因为E、B、D、O四点共圆，
所以∠EDO=∠EBO
过E做CD的垂线交CD于F。
∴△BEO∽△DFE
∴ED/OB = EF/EO
又∵ED‖AC
∴EF/EO=AC/AO
∴ED/OB=AC/AO
∵OB=AO
所以ED=AC

Answer 4

既然楼上提到了四点共圆，那就可以更简单一些
显然，△AOC与四边形BEOD所确定的圆分别是以OA、OB为直径的圆，也就是说它们是等圆
又由四点共圆知，∠AOC＝∠B
∴∠AOC与∠B所对的弧相等(在等圆中，相等的圆周角所对的弧相等)
∴AC＝DE(在等圆中，相等的弧所对的弦相等)