泰勒级数的无穷幂级数的收敛半径是否是无穷大？
泰勒级数的无穷幂级数的收敛半径是否是无穷大？一个函数如果在一点处存在无穷阶连续导数，是否便可通过泰勒无穷幂级数推测该函数在任意一点的函数值？...
泰勒级数的无穷幂级数的收敛半径是否是无穷大？一个函数如果在一点处存在无穷阶连续导数，是否便可通过泰勒无穷幂级数推测该函数在任意一点的函数值？
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1个回答
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不是的，并不是所有的泰勒级数都收敛到原函数，考虑到级数收敛的必要条件是n趋于无穷时求和项趋于0，就可以举出问题的反例来。
比如 ln(1+x) 在 x=0 处的泰勒展开为 ∑(1/n)*x^n*(-1)^(n+1) ，显然这个级数的通项在x>1的时候是趋于无穷的，说明级数不收敛。
比如 ln(1+x) 在 x=0 处的泰勒展开为 ∑(1/n)*x^n*(-1)^(n+1) ，显然这个级数的通项在x>1的时候是趋于无穷的，说明级数不收敛。
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追问
是不是只要函数展开后的收敛半径无穷大就符合上述理论？如果收敛半径为1，那就只在收敛半径内符合？
追答
收敛到f(x)的必要条件我不是很清楚，不过可以知道的是即便级数在某点收敛也不一定就是收敛到f(x)，给你看一下我们书上的相关说明，没有讲为什么不过有提及两个较为有用的收敛到f(x)的充分条件
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