Question

求微分方程的一个特解

求微分方程的一个特解方程如图

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Answer 1

设y=acosx+bsinx+cx^2*e^x是
y''-2y'+y=cosx+e^x①的解，
则y'=-asinx+bcosx+c(x^2+2x)e^x,
y''=-acosx-bsinx+c(x^2+4x+2)e^x,
代入①，(-a-2b+a)cosx+(-b+2a+b)sinx+c(x^2+4x+2-2x^2-4x+x^2)e^x=cosx+e^x,
比较得-2b=1,2a=0,2c=1.
∴b=-1/2,a=0,c=1/2.
∴y=(-1/2)sinx+(1/2)x^2*e^x是①的解。