Question

1/x根号1+x的不定积分

1/x根号1+x的不定积分

Answer 1

∫1/(1+根号(1+x))dx

设 根号(1+x)=t 所以 t^2-1=x dx/dt=2t代入

= ∫2t/(1+t)dx =∫2t+2-2/(1+t)dx=∫2dx-∫2/(1+t)dx

=2t-2ln|1+t|+c 代入 根号(1+x)=t

=2根号(1+x)-2ln|1+根号(1+x)|+C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

Answer 2

∫1/(1+根号(1+x))dx
设 根号(1+x)=t 所以 t^2-1=x dx/dt=2t代入
= ∫2t/(1+t)dx =∫2t+2-2/(1+t)dx=∫2dx-∫2/(1+t)dx
=2t-2ln|1+t|+c 代入 根号(1+x)=t
=2根号(1+x)-2ln|1+根号(1+x)|+C