Question

高二数学双曲线问题

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点F（－3，0）一条渐近线√5x－2y=0
求双曲线方程。若以k且k（不为0）为斜率的直线L与双曲线L相交于两个不同交点，M N且线的M，N的垂直平分线与坐标轴围成的三角形S为2分之81。求K取值范围。

Answer 1

解：（1）解：设双曲线 的方程为:x^2/a^2-y^2/b^2=1
由题设得a^2+b^2=9 b/a=√5/2
解得:a^2=4 b^2=5
所以双曲线方程为:x^2/4-y^2/5=1
（2）解：设直线 的方程为y=kx+m
点M(x1,y1) (x2,y2)的坐标满足方程组:
y=kx+m x^2/4-y^2/5=1
整理得:
(5-4k^2)*x^2-8kmx-4m^2-20=0
此方程有两个一等实根，于是5-4k^2≠0
且△>0
整理得:m^2+5-4k^2>0 ......................③:
:
由根与系数的关系可知线段 的中点坐标(x0,y0)满足:
x0=4km/5-4k^2 y0=5m/5-4k^2
从求出线段 的垂直平分线方程，
此直线与 轴， 轴的交点坐标分别为（9km/5-4k^2,0），（0，9m/5-4k^2）
由题设可得：
S=81/2
整理得：
m^2=(5-4k^2)^2/|k,k≠0
将上式代入③式得|
(4k^2-5)()4k^2-|k|-5)>0
解得：0<|k|<√5/2 or |k|>5/4
所以： k∈ （-∞，-5/4）U (-√5/2,0) U (5/4,+∞ )