Question

数列叠加法是怎么算的?举个例子

Answer 1

LZ您好
叠加法顾名思义就是形如
a[n]-a[n-1] =f(n) 求a[n]
其中f(n)是一个典型等差或者等比或者相对容易求S[n]的数列
举例...
a[n]=4n+a[n-1],a1=1,求通项
那么
a[n]-a[n-1]=4n
a[n-1]-a[n-2]=4(n-1)
a[n-2]-a[n-3]=4(n-2)
......
a[2]-a[1]=8
把上述n-1个式子全部相加(注意是n-1个式子,不是n个!)
a[n]-a[1]=4n + 4[n-1] +... +8
a[n]-1 = 8(n-1) + (n-1)(n-2)*4/2
a[n]=8n-8 + 2(n² -3n +2)+1
a[n]=2n² +2n -3
PS1:本题有其他办法求a[n],因为他是一个形如a[n]=ka[n-1]+f(n)的式子,可以构造法得到答案.
PS2: 如果a[n]/a[n-1]=f(n),你可以类比得到累积法!在此就不做说明了.

Answer 2

已知a1=1,an+1=an+2n 求an
由递推公式知：a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…an-an-1=2n-1
将以上n-1个式子相加可得
an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1
注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法
求通项公式,特别的,当f(n)为常数时,数列即为等差数列.