Question

高数，二重积分计算

高数，二重积分计算求问画绿线部分的详细求解过程，二重积分的值是怎么求出来的？

Answer 1

解：分享两种解法。①几何意义解法【图片中的解法】∵D是x²+y²≤1，而∫∫Ddxdy是∫∫Df(x,y)dxdy当f(x,y)=1的特例，∴按照其几何意义，即积分区域D的面积，即∫∫Ddxdy=π。
同理，∫∫D√(1-x²-y²)dxdy，表示的是半径为r=1的、位于XOY平面以上的上半球的体积，即∫∫D√(1-x²-y²)dxdy=(1/2)4πr³/3=2π/3。
②数理解法。 设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤2π，0≤ρ≤1。 ∴∫∫Ddxdy=∫(0,2π)dθ∫(0,1)ρdρ=(1/2)∫(0,2π)dθ=π。
∫∫D√(1-x²-y²)dxdy=∫(0,2π)dθ∫(0,1)√(1-ρ²)ρdρ=(1/3)∫(0,2π)dθ=2π/3。
供参考。