Question

f(x,y)=(x^2+y^2)sin1/x^2+y^2)，(x，y)≠(0，0) 0，(x，y)

设函数f(x,y)=(x^2+y^2)sin(1/x^2+y^2)，(x，y)≠(0，0) 0，(x，y)=(0，0)
证明，f(x，y)的各偏导数存在，但在(0，0)的偏导数不连续，而f(x，y)在点(0，0)处全微分存在

Answer 1

证明过程如下：

f(x,y)={(x^2+y^2)sin[1(/x^2+y^2)]，(x，y)≠(0，0) 

{0，(x，y)=(0，0)

∂f/∂x=2xsin[1/(x^2+y^2)]+(x^2+y^2)cos[1/(x^2+y^2)]*[-2x/(x^2+y^2)^2]

=2xsin[1/(x^2+y^2)]-2x/(x^2+y^2)*cos[1/(x^2+y^2)],(x,y)≠(0,0)

lim<△x→0>(△x）^2sin[1/(△x)^2]/△x=0

同理，∂f/∂y=2ysin[1/(x^2+y^2)]-2y/(x^2+y^2)*cos[1/(x^2+y^2)]，(x,y)≠(0,0)

0,(x,y)=(0,0)

∴f'x(x，0)=2xsin(1/x^2)-2/x*cos(1/x^2),x→0时第一项的极限为0，第二项的极限不存在。

∴f'x在(0,0)处不连续，同理，f'y在(0,0)处不连续。

设u=f(x,y),p=√[(△x)^2+(△y)^2],r=psin(1/p^2)

在原点处，△u=[(△x)^2+(△y)^2]sin{1/[(△x)^2+(△y)^2]}-0

=p^2sin(1/p^2)=0*△x+0*△y+pr,

当p→0时r→0，根据微分的定义，f(x,y)在原点的微分存在。

全微分概念：

如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)

可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)

其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx +BΔy

该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

f(x,y)={(x^2+y^2)sin[1(/x^2+y^2)]，(x，y)≠(0，0) ;
...........{0，(x，y)=(0，0).
∂f/∂x=2xsin[1/(x^2+y^2)]+(x^2+y^2)cos[1/(x^2+y^2)]*[-2x/(x^2+y^2)^2]
=2xsin[1/(x^2+y^2)]-2x/(x^2+y^2)*cos[1/(x^2+y^2)],(x,y)≠(0,0);
lim<△x→0>(△x）^2sin[1/(△x)^2]/△x=0.
同理，∂f/∂y=2ysin[1/(x^2+y^2)]-2y/(x^2+y^2)*cos[1/(x^2+y^2)]，(x,y)≠(0,0)
0,(x,y)=(0,0).
∴f'x(x，0)=2xsin(1/x^2)-2/x*cos(1/x^2),x→0时第一项的极限为0，第二项的极限不存在，
∴f'x在(0,0)处不连续，同理，f'y在(0,0)处不连续。
设u=f(x,y),p=√[(△x)^2+(△y)^2],r=psin(1/p^2),
在原点处，△u=[(△x)^2+(△y)^2]sin{1/[(△x)^2+(△y)^2]}-0
=p^2sin(1/p^2)=0*△x+0*△y+pr,
当p→0时r→0，根据微分的定义，f(x,y)在原点的微分存在。