Question

F(x)＝xlnx-ax²＋a（a＞0） 当x＞1，F（x）＜0，求a的范围

F(x)＝xlnx-ax²＋a（a＞0）
当x＞1，F（x）＜0，求a的范围求一个过程，谢谢

Answer 1

对F求导，得
F'(x)=1+lnx-2ax
注意到F(1)=0,故必须有F'(1)<=0（否则在一个仅仅略大于1的x，F(x)将不能小于0）
得a>=1/2.
再次求导，得F''(x) = 1/x-2a.当a>=1/2时，F''(x)<0对x>1恒成立。故F'(x)单调递减，F'(x)<0对x>1恒成立。
最后，可得结论：a>=1/2.

追问

F'(1)<=0，这里有点不好理解，可以详细解释一下嘛？谢谢

追答

如果F'(1)>0,那么在经过1的一瞬间，F的值会增加，如x=1.00001（只是举一个例子，因为这个有些涉及到以后微积分的知识，对于高中题目来说这样通俗讲会好理解一些），那么F(x)就会大于0了，不符合条件，故排除。F'(1)允许为0的原因是F'(x)不会有连续的一片零点（也就是说，当它超过0时马上就不会是0）。

追问

谢谢 才看见