Question

已知数列{an}满足a1=4/3,且an+1=（an^2-an）+1，则1/a1+1/a2+……+1/a2017的整数部分是多少？

Answer 1

因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考（若图像显示过小，点击图片可放大）

Answer 2

a<n+1>-an=(an-1)^2>0,
∴a<n+1>>an>=a1=4/3>1,
a<n+1>-1=an(an-1)>=(4/3)(an-1),①
∴a2018-1>=(4/3)^2017(a1-1)=4^2017/3^201>1.
由①，1/(a<n+1>-1)=1/(an-1)-1/an,
∴1/an=1/(an-1)-1/(a<n+1>-1),
∴1/a1+1/a2+……+1/a2017
=1/(a1-1)-1/(a2-1)+1/(a2-1)-1/(a3-1)+……+1/（a2017-1）-1/(a2018-1)
=1/(a1-1)-1/(a2018-1)
=3-1/(a2018-1)，
其整数部分为2.

Answer 3

裂项