Question

讨论函数f(x)=xarctan(1/x^2-1)除sinπ/2x 的连续性,若有间断点,则指出其类型

Answer 1

当-1<x<1时，可以知道n→∞时，x^2n→0
f(x)=lim<n→∞>x(1-x^2n)/(1+x^2n)=x
当x=±1时，f(x)=0
当x<-1或x>1时，分子分母同时除以x^2n
f(x)=lim<n→∞>x[(1/x^2n)-1]/[(1/x^2n)+1]=-x
因为lim<x→-1->f(x)=-1，lim<x→-1+>f(x)=1，f(-1)=0
所以x=-1是这个函数的跳跃间断点
lim<x→1->f(x)=1，lim<x→1+>f(x)=-1，f(1)=0
所以x=1也是跳跃间断点
-x (x<-1)
0 (x=-1)
f(x)= x (-1<x<1)
0 (x=1)
-x (x>1)
这个函数不连续，x=±1是其间断点